Cours de Mathématiques Spéciales [tome 1, algèbre]

AVERTISSEMENT......Page 6
TABLES DES MATIÈRES......Page 8
1.1. Eléments de logique......Page 10
1.2. Ensembles. Applications......Page 14
1.3. Relations binaires sur un ensemble......Page 30
1.4. Ensembles finis......Page 39
1.5. Lois de composition......Page 48
1.6. Structures algébriques......Page 53
Exercices......Page 61
2.1. Structure de groupe......Page 67
2.2. Sous-groupes......Page 70
2.3. Groupes - quotients......Page 75
2.4. Groupes symétriques......Page 79
2.5. Groupes opérant sur un ensemble......Page 86
Exercices......Page 89
3.1. Structure d\'anneau......Page 93
3.2. Idéaux. Anneaux - quotients......Page 99
3.3. Divisibilité dans les anneaux intègres......Page 105
3.4. Corps......Page 111
3.5. Structures ordonnées......Page 116
Exercices......Page 121
4.1. Modules......Page 126
4.2. Sous-modules, modules produits, modules-quotients......Page 129
4.3. Intersection et somme de sous-modules......Page 133
4.4. Structure d\'algèbre......Page 138
Exercices......Page 139
5. Nombres complexes......Page 142
Exercices......Page 153
6.1. Algèbre des polynômes à une indéterminée......Page 157
6.2. Division euclidienne. Propriétés arithmétiques de K[X]......Page 165
6.3. Division suivant les puissances croissantes......Page 177
6.4. Dérivation. Racines......Page 179
6.5. Etude de C[X] et de R[X]......Page 186
6.6. Extension d\'un corps......Page 191
6.7. Algèbre des polynômes à plusieurs indéterminées......Page 194
6.8. Dérivation partielle des polynômes......Page 202
6.9. Propriétés arithmétiques de K[X1,...,Xn]......Page 206
6.10. Polynômes symétriques......Page 209
Exercices......Page 218
7.1. Corps des fractions rationnelles à une indéterminée......Page 223
7.2. Théorie de la décomposition d\'une fraction rationnelle en éléments simples......Page 229
7.3. Pratique de la décomposition d\'une fraction rationnelle en éléments simples. Applications......Page 239
7.4. Notions sur les séries formelles à une indéterminée......Page 246
7.5. Corps des fractions rationnelles à plusieurs indéterminées......Page 250
Exercices......Page 253
8.1. Relations entre coefficients et racines......Page 258
8.2. Elimination. Résultant......Page 263
8.3. Transformation des équations algébriques......Page 277
8.4. L\'équation du troisième degré sur C et R......Page 286
Exercices......Page 288
9.1. Indépendance linéaire. Bases......Page 292
9.2. Espaces vectoriels de dimension finie......Page 299
9.3. Dualité......Page 311
9.4. Matrices......Page 323
Exercices......Page 341
10.1. Applications multilinéaires......Page 350
10.2. Déterminants......Page 354
10.3. Calcul des déterminants......Page 362
10.4. Formes multilinéaires alternées......Page 370
Exercices......Page 377
11.1. Détermination pratique d\'un rang......Page 381
11.2. Equations linéaires......Page 384
Exercices......Page 398
12. Réduction des endomorphismes......Page 403
12.1. Sous-espaces propres......Page 404
12.2. Diagonalisation, trigonalisation......Page 406
12.3. Polynômes d\'endomorphismes......Page 417
Exercices......Page 433
Index alphabétique......Page 444
Index des notations......Page 448